Cho tam giác Heron, ta có thể chia nó thành hai tam giác vuông mà độ dài các cạnh của chúng tạo thành những bộ ba Pitago hữu tỉ.

Chú thích: Bộ ba Pitago hữu tỉ là bộ 3 số hữu tỉ dương x,y,z thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}

Chứng minh định lý

Một lần nữa xét hình vẽ minh họa ở bên phải phía trên, nhưng lần này c, e, b + d, và diện tích tam giác A là những số hữu tỉ. Chúng ta có thể giả sử ký hiệu được chọn sao cho độ dài cạnh b + d là lớn nhất, khi đó đường vuông góc hạ từ đỉnh đối diện xuống cạnh này nằm bên trong đoạn thẳng cạnh. Để chứng mình các bộ ba (a, b, c) và (a, d, e) là các bộ ba Pytago, ta phải chứng minh a, b, và d là những số hữu tỉ.

Vì diện tích tam giác là:

A = 1 2 ( b + d ) a , {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a,}

Rút a ta được

a = 2 A b + d {\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}}

là một số hữu tỉ, vì A {\displaystyle A} và b + d {\displaystyle b+d} đều là những số hữu tỉ. Phần còn lại cần chứng minh b và d hữu tỉ.

Áp dụng định lý Pytago đối với hai tam giác vuông, ta có

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}

và

a 2 + d 2 = e 2 . {\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}.\,}

Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta được

b 2 − d 2 = c 2 − e 2 {\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\,}

hay

( b − d ) ( b + d ) = c 2 − e 2 {\displaystyle (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}\,}

hay

b − d = c 2 − e 2 b + d . {\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}.\,}

Vế phải là hữu tỉ, bởi vì theo giả sử, c, e, và b + d là những số hữu tỉ. Do đó, b − d là hữu tỉ.

(b+d) là hữu tỉ theo giả sử.Suy ra (b+d)+(b-d) là hữu tỉ. Hay 2b là hữu tỉ. Suy ra b hữu tỉ. Suy ra d cũng phải là số hữu tỉ.(điều phải chứng minh)